Массы
В большинстве случаев современные виброзащитпые системы являются пространственными. Специфика работы машин, устанавливаемых на виброзащитпые системы пространственного типа, такова, что их центр масс, как правило, совершает связные гармонические колебания. В работах [131, 69J показано, что связные гармонические движения вибратора в механических системах с конструкционным демпфированием приводят к существенному изменению формы гистерезиса и позволяют упростить представление дифференциальных уравнений колебания этих систем.
В указанных работах рассмотрены лишь случаи плоских прецессионных движений. Но в аэрокосмической технике колебания роторов турбопасоспых агрегатов являются трехмерными. Так, например, ротор ТНА 2-й ступени ЖРД «Энергия» установлен на пространственной виброзащитпой системе, состоящей из системы мпогослой-
пых гофрированных демпферов [70] с радиальным и осевым гофрированием пакетов (рис. 2.36).
Приборное оборудование, устанавливаемое на вибрирующих корпусах двигателей летательных аппаратов, а в общем случае узлы и агрегаты ТС подвержены также пространственным колебаниям (рис. 2.37).
В настоящей работе делается попытка рассмотрения особенностей формирования гистерезиса при связных гармонических колебаниях объекта виброзащиты в направлении трех взаимно-перпендикулярных осей.
Пусть в произвольный момент времени t центр масс объекта, расположенного па пространственной упругодемпфирующей подвеске (рис. 2.38) движется по замкнутой траектории с законами движения в виде:
х = Acos со^,
у = Asm со£; (2.11)
z = Acos <at.
Траектория вибратора при таких законах движения имеет вид наклоненного эллипса, причем проекции этого эллипса на плос-
кости хОу и zOy являются окружностями, а на плоскость zOx — прямая, наклоненная к оси Ох под углом 45° (рис. 2.39).
Рассмотрим вначале случай, когда при движении точки М по траектории на нее действуют только внешняя сила Р и сила сопротивления демпфирующего устройства Т.
Как известно, сопротивление среды всегда направлено против движения, т. е. в сторону, противоположную вектору скорости V. Будем также считать, что модуль силы сопротивления Т не зависит от скорости движения и является постоянным, т. е. Т =const.
Найдем проекции скорости V точки М на оси координат, для чего продифференцируем выражения (2.11) по времени
Vx=x = -/Uosino*; Vy = у — Лео cos со/;
Vz — ‘z— — Асо sin со/. (2.12)
Модуль вектора скорости определится в виде
V = — Jv? + Vy + Vz2 = + sin 2<of. (2.13)
Используя выражения (2.12) и (2.13), можно найти направляющие косинусы вектора V для расчета в дальнейшем проекций силы трения (неупругого сопротивления) на координатные оси:
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Поскольку в любой момент времени модули сил равны друг другу, а линия действия сил РиТ совпадает с направлением вектора V, найдем проекции силы Р на оси координат:
Рх—Т cos( V, д:) = —Т
Умножив и разделив выражения (2.17)—(2.19) на Лю, получим
Выражения (2.20)—(2.22) показывают, что при постоянном модуле силы неупругого сопротивления Т и гармонических законах движения вибратора защищаемого объекта проекции внешней силы Р^ Ру, Pz и равные им, но противоположные но направлению проекции силы сопротивления Тг Ту, Тг зависят от скорости движения точки М.
через к:
то проекции сил Рх, Ру, Р2 можно представить в привычном для линейно-вязкого трения виде:
Px=hx; Ру = hy;pz=hz. (2.24)
Напомним, что в работе рассматривается вопрос о математическом описании гистерезиса в пространственных виброзащитных системах с сухим трением!
Если скорость V и сила сопротивления Т не зависят от координат и времени, то коэффициент демпфирования h = const, в противном случае, как это следует из выражения (2.23), коэффициент h —f(T, V) =/(х, у, z, V).
.Найдем зависимости между Рх и х, Ру и г/, а также Pz и г. Для этого сделаем следующие преобразования. Из выражений (2.11) и (2.20) найдем
Возведем правые и левые части выражений (2.25) в квадрат и сложим почленно:
р2 sin*’ cor + cos2 cor = —у (1+sin 2 cor) + |
2
=1.
Если обозначить
-i-(l + sin2 cor) = Q2, (2.27)
Зависимость р = f(xl А) является точным эллипсом.
Аналогично можно получить два других выражения гистерезиса в проекциях на оси Оу и От.
(2.30)
1 72 |
|
Р’-°Г-л> |
(2.31) |
или в безразмерном виде |
|
я зГл |
(2.32) |
У Q А2 |
|
р — Pz — ll z |
(2.33) |
z V |
Таким образом, в рассматриваемом нами случае все частные гистерезисы в проекциях на оси координат в безразмерном виде (2.29), (2.32), (2.33) являются эллипсами (рис. 2.40).
На рис. 2.41 показаны очертания гистерезисов с учетом переменности скорости V от времени в координатах
fpx |
V |
( p > ҐУ У |
и |
(й. z) |
U’ a |
* |
T * A V / |
У |
Т’ А) |
Сравнение двух серий графиков (рис. 2.40 и 2.41), а также результатов [131], показывает, что пространственное нагружение систе-
Рис. 2.41. Внешний вид частных гистерезисов в безразмерном виде с учетом переменности вектора скорости |
мы конструкционного демпфирования имеет качественное отличие от двухмерного нагружения.
Эллипсная форма гистерезисов несколько изменяется при добавлении третьей гармонической компоненты за счет переменности за цикл нагружения модуля вектора скорости V (см. выражение (2.14). Кроме того, амплитудные значения проекций сил сопротивления демпфера на оси Ох и Oz меньше модуля силы Т в 1/у2 раз. Это
обстоятельство следует учитывать при переносе результатов экспериментальных исследований силы трения в демпферах сухого трения, определенных при одноосном нагружении, на случай пространственного нагружения. Следует также отметить, что трехмерность нагружения приводит к изменению характера коэффициента демпфирования. Этот параметр становится зависимым от скорости движения.
В заключение определим величину рассеянной за цикл энергии. Для этого воспользуемся выражением длины траектории [73J, которая в нашем случае равна
L ~п |~(а + | » (2-34)
где а и Ь — полуоси эллипсиой траектории движения точки М (см. рис. 2.39). Здесь а — А; . С учетом этого длина траектории
L = 2,41 5il4, (2.35)
а рассеянная за цикл энергия, численно равная работе постоянной силы Т на пути L,
Если воспользоваться общепринятой гипотезой о том, что при совместных колебаниях можно осуществлять расчеты характеристик демпфирования, как при одноосных нагружениях, то получим величину рассеянной энергии в виде
г-
Wcyx= 12АТ. (2.37)
При этом погрешность составляет значительную величину:
d = (Wcyj/W) = (12ЛГ/2,415яЛ7) = 1,58. (2.38)
Если к силе сопротивления Т добавить силы упругого сопротив
ления, пропорциональные смещению
Рх =rcos(V, x)+fct; (2.39)
Ру =Tcos(V. y)+ty; (2.40)
Pz = Т cos(V, z)+kz, (2.41)
то частные гистерезисы разворачиваются на угол, пропорциональный величине k в выражениях (2.39)—(2.41) (рис. 2.42).
Многие исследователи при составлении уравнений движения механических систем пользуются понятием жесткости. В общепринятом смысле жесткость — это производная от силы по перемещению в заданной точке нагрузочной характеристики упругой системы.
Для пространственных упругодемпфирующих систем с конструкционным демпфированием жесткость определить не так просто. Дело в том, что определение производной от векторной функции силы по перемещению предполагает возможность деления вектора силы на
Рис. 2.42. Гистерезис в пространственной виброзащитной системе при наличии восстанавливающей силы, пропорциональной смещению
(Г= 1,4-1)
вектор перемещения. Однако в математике операция деления векторов не определена. Для обхода этих трудностей в свое время Гамильтоном была разработана теория кватернионов, в которой операция деления величин типа векторов определена [137].
Обратимся к рис. 2.39. Для пространственной виброзащитной системы вектор внешней силы Р не совпадает по направлению с вектором перемещения р, конец которого находится в точке М(х, у, z). Представим векторы Р и р в виде кватернионов с нулевыми значениями действительных частей:
Выражение (2.43) можно записать в виде -C = C0-CJ-Cyj-Czk, где действительная часть кватернионной жесткости Рх* + РуУ + pzz |
р = рQ+xi+yj+zk; P =
а компоненты мнимой (векторной) части кватернионной жесткос
г (РУ2 ~ ИЛ. х х2+у2 + г2’ г — (PzX~Pxz) . У 2 . . 2 . _2 * |
ти соответственно равны:
(2.46)
(2.47)
(2.48)
дГ +y+z v 7
Произведение кватернионов (2.42) дает нам кватериионный момент сопротивления пространственному движению объекта в системе координат с ортами (/, i, j, k):
М = ~[Рхх + Руу + Pzz)+ (Pyz — Pzy)i + (Pzx — Pxz)j + {РХУ~ Pyx)k. (2.49)
Выражение (2.49) можно представить в виде:
М =M0+
М 0 = ~{рхх + руУ + pzz}> (2.51)
Ux={pyt-Pzy (2.52)
My=(Pzx-Pzz) (2.53)
М z ={рху — Рух (2.54)
Анализируя выражения (2.43)—(2.54), можно увидеть, что компоненты кватернионов жесткости С и момента сопротивления сложному движению М состоят из действительной и мнимой частей. При этом мнимая часть момента сопротивления складывается из проекций момента сил сопротивления на соответствующие оси, а мнимая часть кватернионной жесткости — из аналогичных проекций жесткости на те же оси. Действительная часть кватериионного момента представляет собой полную энергию деформации системы, а действительная часть кватернионной жесткости — частное от деления полной энергии деформации системы на квадрат модуля смещения вибратора р. Эти параметры в течение цикла нагружения изменятся сложным образом.
В качестве примера приведем несколько графиков изменения введенных параметров. На рис. 2.43 показано изменение векторных частей кватернионной жесткости C((ot) и кватериионного момента
M((Qt) в пространственных координатах; на рис. 2.44 — эволюция векторных компонент Cx((nt), Су(аЛ) и Cz((dt), на рис. 2.45 — эволюция векторных компонент Mx((Ot), М ((at) и Mz(<at).
Представленные на рис. 2.43—2.45 графики изменения кватернион- ных компонент жесткости и момента сопротивления движению рассчитаны для абстрактной виброзащип юй системы. В каждом конкретном случае для расчета кватернион ных параметров необходимо знать истинные зависимости силы трения в унругодемпфирующей системе и восстанавливающей силы от ее геометрических и физических параметров. Такими параметрами для многослойных гофрироваїшьіх паке-
тов являются: число лент и воли гофров в каждом пакете, толщина и ширина ленты, высота гофров и предварительный натяг в радиальных пакетах (см. рис. 2.36, б), внутренний и наружный радиусы шайб, их число, толщина каждой шайбы, число волн по окружности шайб, высота гофров и натяг для осевых демпфирующих пакетов (см. рис. 2.36, в), шероховатость поверхности лент и шайб (коэффициент трения), модуль упругости материала демпфирующих пакетов, диаметр корпуса турбомашимы, в которую устанавливаются пакеты.
Для пространственной виброзащитной системы, показанной на рис. 2.37, такими параметрами являются — конструкция тросовых элементов, число проволок в сечении, их диаметры, средний радиус изгиба криволинейных участков, число и расположение элементов в ансамбле, состояние поверхности проволочек и др. По этим параметрам можно создать математические модели расчета зависимостей сил неуиругого сопротивления и восстанавливающих сил системы [111], которые затем можно использовать в предложенной методике для расчета кватерииоииых параметров. Можно воспользоваться также и экспериментальными данными, полученными на базе испытаний конкретной системы виброзащиты в направлениях осей Од:, Оуи Oz. Обработку этих данных можно выполнить по методикам, изложенным в работах [131, 111].